Question

设函数f（x）=log₂（x+1）-log₂（x-1）．
（1）求函数f（x）的奇偶性
（2）判断函数f（x）在（1，+∞）的增减性，并进行证明；
（3）若x∈（3，+∞）时，不等式f（x）＜2^x+m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求函数的定义域，看其是否关于原点对称，不对称则为非奇非偶函数；
（2）先化简，利用单调性的定义先判定g（x）=

x+1

x-1

=1+

2

x-1

在（1，+∞）上的单调性，然后根据复合函数的单调性进行判定即可；
（3）将x∈（3，+∞）时，不等式f（x）＜2^x+m恒成立，转化成m＞[f（x）-2^x]_max，然后根据函数的单调性求最值即可求出m的取值范围．

解答：解：（1）f（x）=log₂（x+1）-log₂（x-1）．
定义域为（1，+∞）不关于原点对称
故函数f（x）为非奇非偶函数
（2）f（x）=log₂（x+1）-log₂（x-1）=log2 

x+1

x-1

（x＞1）
令g（x）=

x+1

x-1

=1+

2

x-1

，设x₁＞x₂＞1
则g（x₁）-g（x₂）=1+

2

x1-1

-(1+

2

x2-1

)=

2(x2-x1)

(x1-1) (x2-1)

∵x₁＞x₂＞1
∴g（x₁）-g（x₂）＜0
∴函数f（x）在（1，+∞）单调递减
（3）若x∈（3，+∞）时，不等式f（x）＜2^x+m恒成立，
则m＞[f（x）-2^x]_max=[log2 

x+1

x-1

-2^x]_max
而log2 

x+1

x-1

-2^x在（3，+∞）上单调递减
∴[log2 

x+1

x-1

-2^x]＜-7
∴实数m的取值范围是m≥-7

点评：本题主要考查了函数的奇偶性的判定，以及函数的单调性的判定和恒成立问题，属于中档题．