Question

【题目】已知函数，其导函数为.

（1）讨论函数在定义域内的单调性；

（2）已知，设函数.

①证明：函数在上存在唯一极值点；

②在①的条件下，当时，求的范围.

Answer 1

【答案】（1）减区间为；增区间为；（2）①证明见解析；②.

【解析】

（1）求导后发现的正负由决定，利用导数研究单调递增，又，从而逐层回推，得到的单调性；

（2）①求得，令，利用导数研究，即单调性，利用零点存在定理得到存在，使得，由此得到的单调性，从而证明结论；

②先求得，，利用导数研究单调性，从而得到的取值范围.

解：（1）的定义域为：，

，

设，则，

当时，；，，

所以，单调递增，又，

所以上，上

所以，的减区间为，增区间为；

（2）①，

，令，则

令，，

由，，，

所以，在递减；在递增.

即：在递减；在递增.

又，

所以，存在，使得，

从而有，在递减；在递增，在定义域内有唯一的零点.

②证明：，

在递增，，

所以，，

，

设，，

在递减，则的取值范围为：.