Question

【题目】如图，在四棱锥中，与都是边长为2的等边三角形，为等腰直角三角形，，.

（1）证明：；

（2）若为的中点，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）构造平面，通过线面垂直证明两条异面直线垂直；

（2）构造空间直角坐标系，求两个平面的法向量，利用法向量求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

（1）证明：如图，设的中点为，连接，.

∵，为等边三角形，

∴，且.

又∵平面，平面，.

∴平面，又平面，

∴.

（2）解：∵，的边长为2，

∴，

在中，，所以，

∴.

且，，平面，平面，

∴平面，

且，

∴如图，以为坐标原点，以，，的方向为，，轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系.连接，在等腰直角三角形中，

则，，，，，，

，，，.

设平面的一个法向量为，则，即，

令得；

设平面的一个法向量为，则，

即，

令得，

，

所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.