Question

试证明：在平面上所有过点（

2

，0）的直线中，至少通过两个有理点（有理点指横、纵坐标均为有理数的点）的直线有且只有一条．

Answer 1

分析：①先证明直线的存在性：由于直线y=0经过点（

2

，0），且至少经过两个有理点（0，0）、（1，0），可得一定存在满足条件的直线．
②再证明唯一性：假设除了直线y=0外，经过点（

2

，0），还有一条直线y=k（x-

2

） 经过2个不同的有理点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），求得k=

y1-y2

x1-x2

为有理数．而由y1=k(x1-

2

) 可得k=

y1

x1- 2

是无理数，矛盾，故假设不正确．综合①②，命题得证．

解答：解：①先证明直线的存在性：
由于直线y=0经过点（

2

，0），且至少经过两个有理点（0，0）、（1，0），故一定存在过点（

2

，0），且至少经过两个有理点的直线．
②再证明唯一性：假设除了直线y=0外，经过点（

2

，0），还有一条直线y=k（x-

2

） 经过2个不同的有理点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
其中，x₁，y₁，x₂，y₂都是有理数，且x₁≠x₂，y₁≠y₂．
则有 y1=k(x1-

2

)，且y2=k(x2-

2

)，∴y₁-y₂=k（x₁-x₂），∴k=

y1-y2

x1-x2

 为有理数．
而由y1=k(x1-

2

) 可得k=

y1

x1- 2

 是无理数，矛盾，故假设不正确．
综上，在平面上所有过点（

2

，0）的直线中，至少通过两个有理点（有理点指横、纵坐标均为有理数的点）的直线有且只有一条．

点评：本题主要考查直线的一般式方程，用反证法证明数学命题，属于基础题．