Question

(本小题满分14分)

设，是平面直角坐标系上的两点，现定义由点到点的一种折线距离为

对于平面上给定的不同的两点，,

（1）若点是平面上的点，试证明

（2）在平面上是否存在点，同时满足

①    ②

若存在，请求出所有符合条件的点，请予以证明。

Answer 1

（1）证明：由绝对值不等式知，

当且仅当且时等号成立。

（2）解：由得

且               （Ⅰ）

由得      （Ⅱ）

因为，是不同的两点，则：

  若且，不妨设，

由（Ⅰ）得  且，

由（Ⅱ）得  ，

此时，点是线段的中点，即只有点满足条件；

  若且，同理可得：只有的中点满足条件；

  若且，不妨设且，

由（Ⅰ）得且，

由（Ⅱ）得，

        此时，所有符合条件的点的轨迹是一条线段，即：过的中点，斜率为的直线夹在矩形之间的部分，其中，，，。