Question

试证明:在平面上所有通过点(,0)的直线中,至少通过两个有理点(有理点指坐标x、y均为有理数的点)的直线有一条且只有一条.

      

Answer 1

证明:先证存在性.?

       因为直线y=0显然通过点(,0),且直线y=0至少通过两个有理点,例如它通过(0,0)和(1,0).这说明满足条件的直线有一条.?

       再证唯一性.?

       假设除了直线y=0外还存在一条直线y=kx+b(k≠0或b≠0)通过点(,0),且该直线通过有理点A(x₁,y₁)与B(x₂,y₂),其中x₁、y₁、x₂、y₂均为有理数.?

       因为直线y=kx+b通过点(,0),所以b=-k,于是y=k(x-),且k≠0.又直线通过A(x₁,y₁)与B(x₂,y₂)两点,?

       所以y₁=k(x₁-),                            ①?

       y₂=k(x₂-).                                  ②?

       ①-②,得y₁-y₂=k(x₁-x₂).                     ③?

       因为A、B是两个不同的点,且k≠0,所以x₁≠x₂,y₁≠y₂.?

       由③,得k=,且k是不等于零的有理数.?

       由①,得=x₁-.?

       此式的左边是无理数,右边是有理数,出现了矛盾.?

       所以,平面上通过点(2,0)的直线中,至少通过两个有理点的直线只有一条.?

       综上所述,满足上述条件的直线有一条且只有一条.?