Question

在棱长为1的正方体ABCD—A¢B¢C¢D¢中，AC¢为对角线，M、N分别为BB¢、B¢C¢的中点，P为线段MN中点．

（1）求DP和平面ABCD所成的角的正切值；

（2）求四面体P-AC¢D¢的体积：

（3）求DP和AC¢所成角．

 

Answer 1

答案：
解析：

（1）过P作PH^BC于点H，连结DH，∵ 面BC¢上面AC，则PH^面ABCD， ∴ DP和面ABCD所成角即为ÐHDP． 在正方形BCC¢B¢，M、N分别为BB¢、B¢C¢中点，P为MN中点， 又B¢C¢=1，则PH=，BH=，CH=，DH= 在RtDPHD中，tanÐHDP= （2）连BC¢和B¢C交于Q，因为BCC¢B¢为正方形，则PQ^BC¢则PQ= 而SDAC¢D¢=  ∴ VP-AC¢D¢=  （体积单位） （3）延长BC至E，延长B¢C¢至F，使CE=C¢F=1，连结DF，则DF∥AC¢，过P作 PH¢^B¢C¢于点H¢ ∴ 异面直线AC¢和DP所成角转化为求ÐPDF，连结PF DP=  DF= 在RtDPFH¢，中，PF= 在DDPF中，cosÐPDF= ∴ ÐPDF= 或解：建立如图空间直角坐标系 A(0，0，1)，C¢(1，1，0)，则=(1，1，-1)， D(0，1，1)，P  则 设和夹角为q cosq=  q=