Question

（2004•武汉模拟）（文科）在棱长为1的正方体ABCD-A′B′C′D′中，AC′为对角线，M、N分别为BB′，B′C′中点，P为线段MN中点．
（1）求DP和平面ABCD所成的角的正切；
（2）求四面体P-AC′D′的体积．

Answer 1

分析：（1）要求DP和平面ABCD所成的角的正切，关键是确定DP和面ABCD所成角，根据面BC′⊥面AC，故可作PH⊥BC，从而可得∠HDP为所求；
（2）利用三棱锥的体积公式可求．

解答：解：（1）过P作PH⊥BC于足H，连DH，
∵面BC′⊥面AC，则PH⊥面ABCD，
∴DP和面ABCD所成角即为∠HDP．
在正方形BCC′B′，M，N分别为BB′，B′C′中点，P为MN中点，
又B′C′=1，则PH=

3

4

，BH=

1

4

，CH=

3

4

，
DH=

DC2+DH2

=

1+( 3 4 )2

=

5

4

在Rt△PHD中，tan∠HDP=

3 4

5 4

=

3

5

(6分)
（2）连BC′和B′C交于Q，因为BCC′B′为正方形，则PQ⊥BC′则PQ=

1

4

B′C=

2

4

，而S△AC′D′=

1

2

•1•

2

=

2

2

∴VP-AC′D′=

1

3

•

2

2

•

2

4

=

1

12

(体积单位)(12分)

点评：本题以正方体为载体，考查是直线与平面所成的角，考查棱锥的体积，关键是线面角的确定．