Question

15．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足2S_n=-a_n+1（n≥1，n∈N^*）；等差数列{b_n}的公差为正数，且满足b₁+b₂+b₃=15，b₁b₂b₃=80．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n+b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 解：（1）化简可得3a_n+1=a_n，从而可得a_n=$\frac{1}{3}$×（$\frac{1}{3}$）^n-1=$\frac{1}{{3}^{n}}$；再由等差数列可得b_n=2+3（n-1）=3n-1；
（2）化简a_n+b_n=$\frac{1}{{3}^{n}}$+3n-1，从而可得T_n=$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$+$\frac{（2+3n-1）n}{2}$=$\frac{（3n+1）n}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$$\frac{1}{{3}^{n}}$．

解答 解：（1）∵2S_n=-a_n+1，∴2S_n+1=-a_n+1+1；
∴2a_n+1=-a_n+1+a_n，
∴3a_n+1=a_n，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{3}$；
而由2S₁=-a₁+1解得a₁=$\frac{1}{3}$；
故a_n=$\frac{1}{3}$×（$\frac{1}{3}$）^n-1=$\frac{1}{{3}^{n}}$；
∵b₁+b₂+b₃=3b₁+3d=15，b₁（b₁+d）（b₁+2d）=80，d＞0；
∴b₁=2，d=3；
∴b_n=2+3（n-1）=3n-1；
（2）∵a_n+b_n=$\frac{1}{{3}^{n}}$+3n-1，
∴T_n=$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$+$\frac{（2+3n-1）n}{2}$
=$\frac{（3n+1）n}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$$\frac{1}{{3}^{n}}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的应用及通项公式与前n项和公式的应用，属于中档题．