Question

4．设函数f（x）=3sin（$\frac{π}{2}$x+$\frac{π}{4}$），若存在这样的实数x₁，x₂，对任意的x∈R，都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）成立，则|x₂-x₁|的最小值为2．

Answer 1

分析 根据条件得到f（x₂）为函数的最大值，f（x₁）为函数的最小值，根据三角函数对称轴之间的关系进行求解即可．

解答 解：若存在这样的实数x₁，x₂，对任意的x∈R，都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）成立，
则f（x₂）为函数的最大值，f（x₁）为函数的最小值，
则x=x₁，x=x₂是函数的对称轴，
则|x₂-x₁|的最小值为为$\frac{T}{2}$，
∵T=$\frac{2π}{\frac{π}{2}}=4$，∴$\frac{T}{2}$=$\frac{4}{2}$=2，
故答案为：2．

点评 本题主要考查三角函数的性质，根据条件确定函数的对称性是解决本题的关键．