Question

18．已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，E，F分别是AA₁，CC₁的中点，试判断四边形BED₁F的形状，并计算其面积．

Answer 1

分析 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法得到四边形BED₁F是菱形，并能求出四边形BED₁F的面积．

解答 解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
则B（2，2，0），E（2，0，1），D₁（0，0，2），F（0，2，1），
$\overrightarrow{E{D}_{1}}$=（-2，0，1），$\overrightarrow{BF}$=（-2，0，1），
$\overrightarrow{EB}$=（0，2，-1），$\overrightarrow{{D}_{1}F}$=（0，2，-1），
∴$\overrightarrow{E{D}_{1}}$=$\overrightarrow{BF}$，$\overrightarrow{EB}=\overrightarrow{{D}_{1}F}$，|$\overrightarrow{E{D}_{1}}$|=|$\overrightarrow{EB}$|=$\sqrt{5}$，
∴四边形BED₁F是菱形，
∵$\overrightarrow{EF}$=（-2，2，0），$\overrightarrow{B{D}_{1}}$=（-2，-2，2），
∴|$\overrightarrow{EF}$|=2$\sqrt{2}$，$|\overrightarrow{B{D}_{1}}|$=2$\sqrt{3}$，
∴四边形BED₁F的面积：
S=$\frac{1}{2}×|\overrightarrow{EF}|×|\overrightarrow{B{D}_{1}}|$=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{3}$=2$\sqrt{6}$．

点评 本题考查四边形的形状的判断及面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．