Question

已知椭圆的长轴长为4．
（1）若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线y=x+2相切，求椭圆焦点坐标；
（2）若点P是椭圆C上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M，N两点，记直线PM，PN的斜率分别为k_PM，k_PN，当时，求椭圆的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由，再结合椭圆的长轴的长为4，进而根据椭圆中a，b，c的关系得到焦点的坐标．
（2）由题意可设M（x，y），N（-x，-y），P（x，y），所以有，两式相减得：，再结合两条直线的斜率与题中条件可得答案．
解答：解：（1）由…（2分）
又因为2a=4，
所以a=2，又a²=4，b²=2…（4分）
所以c²=a²-b²=2，
∴…（6分）
（2）由于过原点的直线L与椭圆相交的两点M，N交于坐标原点对称
不妨设：M（x，y），N（-x，-y），P（x，y）
因为M，N，P在椭圆上，
所以它们满足椭圆方程，即有
两式相减得：．…（8分）
由题意它们的斜率存在，则…（10分）

故所求椭圆的方程为…（12分）
点评：本题主要考查了椭圆的标准方程，涉及了椭圆与直线的位置关系，以及直线的斜率等问题，综合性强．