Question

如图所示，在正四棱锥S－ABCD中，SA＝AB＝A． (1) SB与底面所成角的大小 (2) 侧面SBC与底面AC所成角的大小 (3) 相邻两侧面SCD与SDA所成角的大小 (4) 相对两侧面SBC与SDA所成角的大小

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解析：如图所示，取棱锥底面中心O，则AC∩BD=O．连结SO，则SO⊥平面AC，∠SBO为SB与底面AC所成角．在Rt△SBO中，SB=SA=a，BO==a，SO==a，∴∠SBO=．
(2)	取BC中点F，连结FO、SF，∵△BSC为等边三角形，∴SF⊥BC． 　　∵SO⊥底面AC，∴FO⊥BC(三垂线定理的逆定理)． 　　∴∠SFO为侧面SBC与底面AC所成角． 　　在Rt△SFO中，OF=，SO=a， 　　∴tan∠SFO==，即侧面SBC与底面AC所成角为arctan．
(3)	过C作CE⊥SD于E，连结AE． 　　∵正四棱锥S－ABCD侧面是全等的正三角形，∴AE⊥SD且AE=CE，∠AEC为相邻两侧面SCD与SDA所成二面角的平面角． 　　在△AEC中，AC=a，AE=CE=a． 　　∴cos∠AFC==－ 　　∴相邻两侧面SCD与SDA所成的二面角为(π－arccos)．
(4)	延长FO交AD于G，则G为AD的中点．SG⊥AD，SG=SF=a． 　　平面SBC与平面SDA有公共点S，它们所成二面角的棱l过点S． 　　∵BC∥AD，AD平面SDA，BC￠平面SDA，∴平面SBC∩平面SDA=l，l∥BC． 　　∵SF⊥BC，SG⊥AD，BC∥AD，∴SF⊥l，SG⊥l，∴∠FSG为所求二面角的平面角． 　　在△SFG中，SF=SG=a，FG=a．∴cos∠FSG=＝． 　　∴相对两侧面SBC与SAD所成角为arccos． 　　点评：(1)研究二面角问题，关键是抓平面角．作二面角的平面角常有下列三种方法：①用定义；②作二面角棱的垂面，利用三垂线定理；③利用公式cosθ=()．如何选择正确方法，则必须根据题目的条件，做出正确选择．此题第(2)问用三垂线定理或用公式()则较容易，而第(3)问则利用定义法较容易． 　　(2)如果两个面的交线没有给出，如何找交线的问题也是高考常考内容．找交线的方法常用公理2或线面平行的性质定理．