Question

等差数列{a_n}的各项均为正数，a₁=1，前n项和为S_n．等比数列{b_n}中，b₁=1，且b₂S₂=6，b₂+S₃=8．
（Ⅰ）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

．

Answer 1

分析：（1）由题意要求数列{a_n}与{b_n}的通项公式只需求公差，公比因此可将公差公比分别设为d，q然后根据等差数列的前项和公式代入b₂S₂=6，b₂+S₃=8求出d，q即可写出数列{a_n}与{b_n}的通项公式．
（2）由（1）可得Sn=1+2+…+n=

1

2

n(n+1)即

1

sn

 =

2

n(n+1)

而要求

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

故结合

1

sn

的特征可变形为

1

sn

=2(

1

n

-

1

n+1

)代入化简即可．

解答：解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，d＞0，{b_n}的等比为q
则a_n=1+（n-1）d，b_n=q^n-1
依题意有

q(2+d)=6 q+3+3d=8

，解得

d=1 q=2

或

d=- 4 3 q=9

（舍去）
故a_n=n，b_n=2^n-1
（Ⅱ）由（1）可得Sn=1+2+…+n=

1

2

n(n+1)
∴

1

sn

=2(

1

n

-

1

n+1

)
∴

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=2[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]
=2(1-

1

n+1

)=

2n

n+1

．

点评：本题第一问主要考查了求数列的通项公式较简单只要能写出s_n的表达式然后代入题中的条件正确计算即可得解但要注意d＞0．第二问考查了求数列的前n项和，关键是要分析数列通项的特征将

1

sn

 =

2

n(n+1)

等价变形为

1

sn

=2(

1

n

-

1

n+1

)然后代入计算，这也是求数列前n项和的一种常用方法--裂项相消法！