Question

已知椭圆的一条准线方程是其左、右顶点分别是A、B；双曲线的一条渐近线方程为3x－5y=0.

（Ⅰ）求椭圆C₁的方程及双曲线C₂的离心率；

（Ⅱ）在第一象限内取双曲线C₂上一点P，连结AP交椭圆C₁于点M，连结PB并延长交椭圆C₁于点N，若. 求证：

Answer 1

（I）双曲线的离心率

（Ⅱ）证明见解析

解析:

（I）由已知

∴椭圆的方程为，双曲线的方程.

又  ∴双曲线的离心率

（Ⅱ）由（Ⅰ）A（－5，0），B（5，0）  设M得M为AP的中点

∴P点坐标为   将M、p坐标代入c₁、c₂方程得

消去y₀得   解之得

由此可得P（10，

当P为（10， 时   PB：  即

代入

   MN⊥x轴     即