Question

已知椭圆的一条准线方程是=1，过椭圆的左焦点F，且方向向量为=(1，1)的直线交椭圆于A、B两点，AB的中点为M．

(1)求直线OM的斜率(用、b表示)：

(2)直线AB与OM的夹角为，当tan=2时，求椭圆的方程；

(3)当A、B两点位于第一、三象限时，求椭圆短轴长的取值范围．

Answer 1

解：(1)由题意可得：直线：，

    设A(，)，B(，)，

    则有，

两式作差得：，

因为=1，所以．

(2)tan=

           =，

    化简得，又因为=1，

    解得，，

    所以椭圆方程是=1．

    (3)由题意可得，直线：，与椭圆方程联立

    得()+2+(一)=0，

    因为A、B两点位于第一、三象限，

    所以= <0，所以>c，

    因为=1，

    即，

∴0<b<1，而b>c，所以短轴长2b的取值范围是(0，1)