Question

如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、P分别是BC、A₁D₁的中点，M、N分别是AE、CD₁的中点，AD=A₁A₁=a，Ab=2a，
（Ⅰ）求证：MN∥平面ADD₁A₁；
（Ⅱ）求二面角P-AE-D的大小；
（Ⅲ）求三棱锥P-DEN的体积．

Answer 1

【答案】分析：法一、（1）要证明线面平行，关键是在平面内找到一条可能与已知直线平行的直线，观察到平面ADD₁A₁中三条已知直线与PC都不平行，故我们要考虑在平面ADD₁A₁中做一条与PC可能平行直线辅助线，然后再进行证明．
（2）要求二面角的余弦，要先构造出二面角的平面角，然后利用解三角形的方法，求出这个平面角的余弦值，进而给出二面角的余弦值．
（3）要求三棱锥的体积，只要求出底面的面积，及对应的高代入棱锥体积公式，即可求解．
法二、构造空间直角坐标系，求出各点的坐标，进行求出相应直线的方向向量和平面的法向量，利用向量法进行求解．
解答：解：法一：（Ⅰ）证明：取CD的中点K，连接MK，NK
∵M，N，K分别为AK，CD₁，CD的中点
∵MK∥AD，NK∥DD₁
∴MK∥面ADD₁A₁，NK∥面ADD₁A₁，又MK与NK交于K
∴面MNK∥面ADD₁A₁，
∴MN∥面ADD₁A₁
（Ⅱ）设F为AD的中点
∵P为A₁D₁的中点∴PF∥D₁D∴PF⊥面ABCD
作FH⊥AE，交AE于H，连接PH，则由三垂线定理得AE⊥PH
从而∠PHF为二面角P-AE-D的平面角．
在Rt△AEF中，，
从而
在Rt△PFH中，
故：二面角P-AE-D的大小为

（Ⅲ）
作DQ⊥CD₁，交CD₁于Q，由A₁D₁⊥面CDD₁C₁得A₁C₁⊥DQ
∴DQ⊥面BCD₁A₁
∴在Rt△CDD₁中，
∴==

方法二：以D为原点，DA，DC，DD₁所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立直角坐标系，

则A（a，0，0），B（a，2a，0），C（0，2a，0），A₁（a，0，a），D₁（0，0，a）
∵E，P，M，N分别是BC，A₁D₁，AE，CD₁的中点
∴，
（Ⅰ）
取，显然面ADD₁A₁，
∴
又MN∉面ADD₁A₁
∴MN∥面ADD₁A₁

（Ⅱ）过P作PH⊥AE，交AE于H，取AD的中点F，则
∵设H（x，y，0），则
又
由，及H在直线AE上，可得：
解得
∴
∴即
∴与所夹的角等于二面角P-AE-D的大小
故：二面角P-AE-D的大小为

（Ⅲ）设为平面DEN的法向量，
则
又
∴即∴可取
∴P点到平面DEN的距离为
∵，
∴
∴
点评：判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义（无公共点）；②利用线面平行的判定定理（a?α，b?α，a∥b⇒a∥α）；③利用面面平行的性质定理（α∥β，a?α⇒a∥β）；④利用面面平行的性质（α∥β，a?α，a?，a∥α⇒?a∥β）．
求二面角，关键是构造出二面角的平面角，常用的方法有利用三垂线定理和通过求法向量的夹角，然后再将其转化为二面角的平面角．本题也可以用空间向量来解决，其步骤是：建立空间直角坐标系⇒明确相关点的坐标⇒明确相关向量的坐标⇒通过空间向量的坐标运算求解．