Question

已知定点P（6，4）与定直线l₁：y=4x，过P点的直线l与l­₁交于第一象限Q点，与x轴正半轴交于点M，求使△OQM面积最小的直线l方程。

Answer 1

命题意图直线l是过点P的旋转直线，本题主要考查如何选参数，是选其斜率k作为参数，还是选择点Q（还是M）作为参数是本题关键。

知识依托 两点连线的斜率公式，直线的方程，三角形的面积，基本不等式

错解分析本题的关键是选准参数，如果选k作为参数，运算量稍大，会把问题变得复杂起来

技巧与方法选用点做参数，灵活运用直线方程及面积公式

解：设Q（x₀，4x₀），M（m，0）

∵ Q，P，M共线 ∴ k_PQ=k_PM ∴

解之得：

∵ x₀>0，m>0 ∴ x₀-1>0

∴

令x₀-1=t，则t>0   ≥40

当且仅当t=1，x₀=11时，等号成立  ，此时Q（11，44），直线l：x+y-10=0

评注：本题通过引入参数，建立了关于目标函数S_△OQM的函数关系式，再由基本不等式再此目标函数的最值。要学会选择适当参数，在解析几何中，斜率k，截距b，角度θ，点的坐标都是常用参数，特别是点参数。