Question

已知定点P（6，4）与定直线l₁：y=4x，过P点的直线l与l₁交于第一象限Q点，与x轴正半轴交于点M，O为坐标原点，求使△OQM面积最小的直线l方程．

Answer 1

分析：直线l是过点P的旋转直线，因此是选其斜率k作为参数，还是选择点Q（还是M）作为参数是解答本题的关键．
通过比较可以发现，选k作为参数，运算量稍大，因此选用点参数．

解答：
解：设Q（x₀，4x₀），M（m，0），
∵Q，P，M共线，
∴k_PQ=k_PM，
即

4-4x0

6-x0

=

4

6-m

，
解得，m=

5x0

x0-1

；
∵x₀＞0，m＞0，
∴x₀-1＞0，
∴S△OMQ=

1

2

|OM|4x0=2mx0=

10x02

x0-1

；
令x₀-1=t，则t＞0，
S=

10(t+1)2

t

=10(t+

1

t

+2)≥40；
当且仅当t=1，x₀=2时，等号成立，
此时Q（2，8），∴直线l：x+y-10=0；
注：如果用点斜式设直线方程，用斜率表示三角形面积，
【略解】设QM：y=k（x-6）+4    Q(

6k-4

k-4

，

24k-16

k-4

)，M（(

6k-4

k

，0)），
S_△OQM=

1

2

.

6k-4

k

24k-16

k-4

=

8(3k-2)2

k2-4k

，令3k-2=t则k=

t+2

3

，然后分子分母都除以t²
∴S_△OQM=

8t2

(t+2)2 9 - 4(t+2) 3

=

72t2

t2-8t-20

=

72

1- 8 t - 20 t2

≥

72

4×(-20)×1-64 4×(-20)

=40，此时t=-5，k=-1．

点评：本题通过引入参数，建立了关于目标函数S_△OQM的函数关系式，再由基本不等式求此目标函数的最值．解题时要学会选择适当参数，在解析几何中，斜率k，截距b，角度θ，点的坐标都是常用参数，特别是点参数．