Question

若双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)上不存在点P使得右焦点F关于直线OP（O为双曲线的中心）的对称点在y轴上，则该双曲线离心率的取值范围为（　　）

• A．(

  2

  ，+∞)
• B．[

  2

  ，+∞)
• C．(1，

  2

  ]
• D．(1，

  2

  )

Answer 1

分析：由于双曲线得对称性，只讨论第一象限即可．根据双曲线方程，设其上一点P的坐标为P（

a

cosθ

，btanθ），其中为θ锐角，求出直线OP方程：y=

bsinθ

a

x．设右焦点F（c，0）关于直线OP的对称点为Q（x₁，y₁），根据点关于直线对称的知识，列方程组并化简消去y₁，可得

b2sin2θ

a2

=

c-x1

c+x1

．因为不存在点P使得对称点Q在y轴上，所以不存在θ，使x₁=0满足该方程，讨论这个方程解的情况，得

b2

a2

≤1，可得c²≤2a²，离心率满足1＜e≤

2

．得到正确答案．

解答：解：由于双曲线得对称性，只讨论第一象限即可．
设双曲线位于第一象限内一点P的坐标为（

a

cosθ

，btanθ），其中为θ锐角，
∴直线OP的斜率为k=

btanθ

a cosθ

=

bsinθ

a

，可得直线OP方程为y=

bsinθ

a

x，
设右焦点F（c，0）关于直线OP的对称点为Q（x₁，y₁），
∴

y1 x1-c • bsin θ a =-1 y1 2 = bsin θ a • c+x1 2

，消去y₁得：

b2sin2θ

a2

=

c-x1

c+x1

…（*），
接下来讨论方程（*）的根的问题，
当x₁=0时，

b2sin2θ

a2

=1，将此方程进行变量分离，得：

b2

a2

=

1

sin2θ

∵0＜sin²θ＜1
∴

b2

a2

=

1

sin2θ

＞1
而根据题意，不存在点P使得对称点Q在y轴上，所以不存在θ，使x₁=0满足（*）式成立．
综上所述，可得

b2

a2

≤1，即

c2-a2

a2

＜1，可得c²≤2a²，离心率e≤

2

∵双曲线中，c＞a
∴离心率e＞1，可得1＜e≤

2

．
故选C

点评：本题给出双曲线上不存在点P使得右焦点F关于直线OP（O为双曲线的中心）的对称点在y轴上，求双曲线离心率的取值范围，着重考查了双曲线的简单性质和点关于直线对称等知识点，属于中档题．