Question

已知数列{a_n}与数列{b_n}（n∈N*，n≥1）满足：①a₁＜0，b₁＞0；②当k≥2时，a_k与b_k满足如下条件：
当≥0时，a_k=a_k-1，，；当＜0时，，b_k=b_k-1．
求：（1）用a₁，b₁表示b_n-a_n；
（2）当b₁＞b₂＞…＞b_n（n≥2）时，用a₁，b₁表示b_k．（k=1，2，…n）
（3）当n（n≥2，n∈N*）是满足b₁＞b₂＞…＞b_n（n≥2）的最大整数时，用a₁，b₁表示n满足的条件．

Answer 1

【答案】分析：（1）通过分类讨论可知，所以无论哪种情况，都有，从而可获得数列b_n-a_n为等比数列进而可获得问题的解答；
（2）结合条件经分类讨论可知≥0，对于2≤k≤n，a_k=a_k-1，b_k=从而a_n=a_n-1═a₁．由（1）即可获得问题的结论．
（3）由题意分析易知，经分类讨论易知进而即可获得问题解答．
解答：解：（1）当≥0时，；
＜0时，
所以无论哪种情况，都有
因此，数列{b_k-a_k}是首相为b₁-a₁，公比为的等比数列，
∴．
（2）由b₁＞b₂＞＞b_n（n≥2）时，b_k≠b_k-1（2≤k≤n）
由②可知，不成立，
所以≥0，对于2≤k≤n，a_k=a_k-1，b_k=
于是a_n=a_n-1═a₁
由（1）可得，b_k=a₁+（b₁-a₁）•．
（3）由b₁＞b₂＞＞b_n（n≥2）知

∴


=
∴b_n＞b_n+1这与n是满足b₁＞b₂＞b₃＞b_n（n≥2）的最大整数相矛盾
∴n是满足＜0的最小整数由＜0，得
得＜-a，得
∴
因而n是满足＜n的最小整数．
点评：本题考查的是数列与不等式的综合类问题．在解答的过程当中充分体现了分类讨论的思想、数列求和的知识以及问题转化的知识．值得同学们体会和反思．