题目内容
已知四棱锥P-ABCD中，底面四边形为正方形，侧面PDC为正三角形，且平面PDC⊥底面ABCD，E为PC的中点（1）求证：PA∥平面EDB；
（2）求证：平面EDB⊥平面PBC．
【答案】分析：（1）欲证PA∥平面EDB，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证PA与平面EDB内一直线平行即可，连AC交BD于O，连EO，得EO∥PA，EO?平面EDB，PA?平面EDB满足定理条件；
（2）欲证平面EDB⊥平面PBC，只需证线面垂直即可，DE⊥PC，BC⊥DE，BC∩PC=C，根据线面垂直的判定定理可知DE⊥平面PBC，而DE?平面EDB，满足定理条件．
解答：证明：（1）连AC交BD于O，连EO由四边形ABCD为正方形，得O为AC的中点
在△PAC中，由中位线定理得EO∥PA
又EO?平面EDB，PA?平面EDB；
∴PA∥平面EDB
（2）由平面PDC⊥平面ABCD，BC⊥DC，得BC⊥平面PDC，
又DE?平面PDC，则BC⊥DE，E为PC的中点，△PDC为正三角形，
∴DE⊥PC
BC∩PC=C，
∴DE⊥平面PBC，
又DE?平面EDB，
∴平面EDB⊥平面PBC
点评：本题主要考查了直线与平面平行的判定，以及平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．
（2）欲证平面EDB⊥平面PBC，只需证线面垂直即可，DE⊥PC，BC⊥DE，BC∩PC=C，根据线面垂直的判定定理可知DE⊥平面PBC，而DE?平面EDB，满足定理条件．
解答：证明：（1）连AC交BD于O，连EO由四边形ABCD为正方形，得O为AC的中点
在△PAC中，由中位线定理得EO∥PA
又EO?平面EDB，PA?平面EDB；
∴PA∥平面EDB
（2）由平面PDC⊥平面ABCD，BC⊥DC，得BC⊥平面PDC，
又DE?平面PDC，则BC⊥DE，E为PC的中点，△PDC为正三角形，
∴DE⊥PC
BC∩PC=C，
∴DE⊥平面PBC，
又DE?平面EDB，
∴平面EDB⊥平面PBC
点评：本题主要考查了直线与平面平行的判定，以及平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．
练习册系列答案
相关题目
如图，已知四棱锥P--ABC的底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，e为PC的中点，F为AD的中点．
如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=2CD=2，PB=PC，侧面PBC⊥底面ABCD，O是BC的中点．
已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，E为BC中点，AE与BD交于O点，AB=BC=2CD=2，BD⊥PE．
如图，已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，E是线段PC上一点，PC⊥平面BDE．