Question

已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，E为BC中点，AE与BD交于O点，AB=BC=2CD=2，BD⊥PE．
（1）求证：平面PAE⊥平面ABCD； 
（2）若直线PA与平面ABCD所成角的正切值为

5

2

，PO=2，求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

分析：（1）先证明OB⊥AE，利用BD⊥PE，AE∩PE=E，根据线面垂直的判定定理，可得BD⊥平面PAE；
（2）证明PO⊥平面ABCD，再求四棱锥P-ABCD的体积．

解答：（1）证明：∵AB=BC，BE=CD，∠ABC=∠BCD
∴△ABE≌△BCD
∴∠EAB=∠CBD
∴∠BOE=∠EAB+∠OBA=∠CBD+∠OBA=90°
∴OB⊥AE
∵BD⊥PE，AE∩PE=E，
∴BD⊥平面PAE
∵BD?平面ABCD
∴平面PAE⊥平面ABCD； 
（2）解：过P作PO′⊥AE，O′为垂足
∴平面PAE⊥平面ABCD，
∴PO′⊥平面ABCD，
∴∠PAO′为直线PA与平面ABCD所成角，
∴tan∠PAO′=

5

2

Rt⊥ABE中，OB=

AB×BE

AE

=

2

5

，AO=

4

5

∴

PO

AO

=

5

2

=tan∠PAO′=

PO′

AO′

∴O，O′重合
∴PO⊥平面ABCD，
∴VP-ABCD=

1

3

SABCD×PO=2

点评：本题考查线面垂直、面面垂直，考查四棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．