Question

已知：正数数列a_n中，若关于x的方程x2-

an+1

x+

3an+2

4

=0(n∈N+)有相等的实根
（1）若a₁=1，求a₂，a₃的值；并证明

1

1+a1

+

1

1+a2

+…+

1

1+an

＜

3

4

（2）若a₁=a，b_n=a_n-（3n-12）•2ⁿ，求使b_n+1≥b_n对一切n∈N⁺都成立的a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由△=an+1-4×

3an+2

4

=0得a_n+1=3a_n+2，再由a_n+1=3a_n+2得a_n+1+1=3（a₁+1），由此能够证明

1

1+a1

+

1

1+a2

+…+

1

1+an

＜

3

4

．
（2）当a₁=a时，a_n+1=（a+1）•3^n-1，b_n=（a+1）•3^n-1-1-（3n-12）•2ⁿ，b_n+1-b_n=（a+1）•2•3^n-1-（3n-6）•2ⁿ≥0对一切n∈N⁺都成立，由此能求出使b_n+1≥b_n对一切n∈N⁺都成立的a的取值范围．

解答：解：（1）由△=an+1-4×

3an+2

4

=0得a_n+1=3a_n+2∴a_=5，a3=17(2分)
由a_n+1=3a_n+2得a_n+1+1=3（a₁+1），
所以a_n+1为首项为2公比为3的等比数列
得a_n+1=2•3^n-1（5分），

1

1+a1

+

1

1+a2

+

1

1+an

=

1

2

[1+

1

3

++

1

3n-1

]=

3

4

-

3

4

•(

1

3

)n＜

3

4

（8分）
（2）当a₁=a时，a_n+1=（a+1）•3^n-1，b_n=（a+1）•3^n-1-1-（3n-12）•2ⁿ
b_n+1-b_n=（a+1）•2•3^n-1-（3n-6）•2ⁿ≥0对一切n∈N⁺都成立，所以a+1≥(

2

3

)n-1•(3n-6)
令cn=(

2

3

)n-1(3n-6)，cn+1-cn=(

2

3

)n-1(-n+4)，
所以(cn)max=c4=c5=

16

9

，所以a≥

7

9

（16分）

点评：本题考查数列的性质和综合运用，解题时要注意公式的合理运用．