题目内容

已知：正数数列an中，若关于x的方程有相等的实根
（1）若a1=1，求a2，a3的值；并证明
（2）若a1=a，bn=an-（3n-12）•2n，求使bn+1≥bn对一切n∈N+都成立的a的取值范围．
【答案】分析：（1）由得an+1=3an+2，再由an+1=3an+2得an+1+1=3（a1+1），由此能够证明．
（2）当a1=a时，an+1=（a+1）•3n-1，bn=（a+1）•3n-1-1-（3n-12）•2n，bn+1-bn=（a+1）•2•3n-1-（3n-6）•2n≥0对一切n∈N+都成立，由此能求出使bn+1≥bn对一切n∈N+都成立的a的取值范围．
解答：解：（1）由得an+1=3an+2∴
由an+1=3an+2得an+1+1=3（a1+1），
所以an+1为首项为2公比为3的等比数列
得an+1=2•3n-1（5分），
（8分）
（2）当a1=a时，an+1=（a+1）•3n-1，bn=（a+1）•3n-1-1-（3n-12）•2n
bn+1-bn=（a+1）•2•3n-1-（3n-6）•2n≥0对一切n∈N+都成立，所以
令，，
所以，所以（16分）
点评：本题考查数列的性质和综合运用，解题时要注意公式的合理运用．
练习册系列答案
相关题目
已知：正数数列{an}的通项公式an=
2×3n+2
3n-1
（n∈N*）
（1）求数列{an}的最大项；
（2）设bn=
an+p
an-2
，确定实常数p，使得{bn}为等比数列；
（3）（理）数列{Cn}，满足C1＞-1，C1≠
2
，Cn+1=
Cn+p
Cn+1
，其中p为第（2）小题中确定的正常数，求证：对任意n∈N*，有C2n-1＞
2
且C2n＜
2
或C2n-1＜
2
且C2n＞
2
成立．
（文）设{bn}是满足第（2）小题的等比数列，求使不等式-b1+b2-b3+…+（-1）nbn≥2010成立的最小正整数n．
已知：正数数列an中，若关于x的方程x2-
an+1
x+
3an+2
4
=0(n∈N+)有相等的实根
（1）若a1=1，求a2，a3的值；并证明
1
1+a1
+
1
1+a2
+…+
1
1+an
＜
3
4

（2）若a1=a，bn=an-（3n-12）•2n，求使bn+1≥bn对一切n∈N+都成立的a的取值范围．
（2013•河东区二模）已知正项数列{an}中，a1=6，点An(an，
an+1
)在抛物线y2=x+1上；数列{bn}中，点Bn（n，bn）在过点（0，1），以方向向量为（1，2）的直线上．
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；（文理共答）
（Ⅱ）若f（n）=
an，(n为奇数)
bn，(n为偶数)
，问是否存在k∈N，使f（k+27）=4f（k）成立，若存在，求出k值；若不存在，说明理由；（文理共答）
（Ⅲ）对任意正整数n，不等式
an+1
(1+
1
b1
)(1+
1
b2
)…(1+
1
bn
)
-
an
n-2+an
≤0成立，求正数a的取值范围．（只理科答）
已知正项数列{an}中，a1=6，点在抛物线y2=x+1上；数列{bn}中，点Bn（n，bn）在过点（0，1），以方向向量为（1，2）的直线上．
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；（文理共答）
（Ⅱ）若f（n）=，问是否存在k∈N，使f（k+27）=4f（k）成立，若存在，求出k值；若不存在，说明理由；（文理共答）
（Ⅲ）对任意正整数n，不等式≤0成立，求正数a的取值范围．（只理科答）

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