题目内容
【题目】已知抛物线
与直线
交于
不同两点分别过点
、点
作抛物线
的切线，所得的两条切线相交于点
.
(Ⅰ)求证
为定值:
(Ⅱ)求
的面积的最小值及此时的直线
的方程.
【答案】（I）见解析.
（Ⅱ）
有最小值为
，此时直线方程
为
.
【解析】分析：(Ⅰ)
消
得
，方程的两个根为
，根据韦达定理以及点在抛物线上，
，结合平面向量数量积公式可得结论；(Ⅱ)利用导数求斜率可得
即
，同理
，联立切线方程，由 
，而
故有
，
，即点
，利用弦长公式、点到直线距离公式以及三角形面积公式可得
，利用单调性可得结果.
详解：设
消得，方程的两个根为，
恒成立，
，
在抛物线
上，
，
(Ⅰ)
，
为定值.
(Ⅱ) 
即
，
，
，
即，同理 由 
得，而
故有，，即点，
点到直线
的距离
即
时有最小值为，此时直线方程为.
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