Question

14．设数列{a_n}的前n项和为S_n．已知a₁=a，（a≠3）a_n+1=S_n+3ⁿ，n∈N^*．
（Ⅰ）设b_n=S_n-3ⁿ，求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若a_n+1≥a_n，n∈N^*，求a的取值范围．（文科求{a_n}的通项公式）

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可知${b_n}={S_n}-{3^n}$，${b_{n+1}}={S_{n+1}}-{3^{n+1}}$，${b_{n+1}}+{3^{n+1}}=2（{b_n}+{3^n}）+{3^n}$，b_n+1=2b_n，则{b_n}是首项是a-3，公比为2的等比数列，即可求得数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：求得数列{a_n}的通项公式，由指数函数的单调性，即可求得a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由a_n+1=S_n+1-S_n，${a_{n+1}}={S_n}+{3^n}$
则${S_{n+1}}=2{S_n}+{3^n}$，${b_n}={S_n}-{3^n}$，${b_{n+1}}={S_{n+1}}-{3^{n+1}}$，
∴${S_n}={b_n}+{3^n}$，${S_{n+1}}={b_{n+1}}+{3^{n+1}}$，
∴${b_{n+1}}+{3^{n+1}}=2（{b_n}+{3^n}）+{3^n}$，
∴b_n+1=2b_n，a≠3，
∴b₁=S₁-3=a-3≠0，
∴{b_n}是首项是a-3，公比为2的等比数列，
∴数列{b_n}的通项公式${b_n}=（{a-3}）•{2^{n-1}}$；
（Ⅱ）∵${b_n}={S_n}-{3^n}$，∴${S_n}={3^n}+（{a-3}）•{2^{n-1}}$，S_n-1=3^n-1+（a-3）•2^n-2，
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2×3^n-1+（a-3）2^n-2，
a₁=a≠$\frac{1}{2}$（a-3）+2，
a_n=$\left\{\begin{array}{l}{a}&{n=1}\\{（a-3）•{2}^{n-2}+2×{3}^{n-1}}&{n≥2}\end{array}\right.$，
a₂=a+3＞a₁，
${a_{n+1}}≥{a_n}?2×{3^n}+（{a-3}）{2^{n-1}}≥2×{3^{n-1}}+（{a-3}）{2^{n-2}}?8×{（{\frac{3}{2}}）^{n-1}}+a-3≥0$，
∵n≥2时，$8×{（{\frac{3}{2}}）^{n-1}}≥12$，
由指数函数的性质可知8×（$\frac{3}{2}$）^n-1，在R上单调递增，
则a-3≥-12，解得：a≥-9，
a的取值范围[-9，+∞）．

点评 本题考查等比数列通项公式，考查数列通项公式的求法，指数函数的性质，考查函数单调性的应用，考查计算能力，属于中档题．