Question

在等差数列a_n中，S_n表示其前n项，若Sn=

n

m

，Sm=

m

n

(m≠n)，则S_n+m的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：根据等差数列的前n项和公式及等差数列的性质表示出Sn=

n

m

和Sm=

m

n

，得到两个关系式，分别记作①和②，①-②，根据m≠n，得到m-n≠0，两边同时除以m-n，得到一个等式，然后再利用等差数列的前n项和公式及等差数列的性质化简S_n+m，将得到的等式代入，利用（m+n）²＞4mn即可得到S_n+m的最小值，进而得到S_n+m的取值范围．

解答：解：因为S_n=

n(a1+an)

2

=

n[2a1+(n-1)d]

2

=

n

m

①，S_m=

m(a1+am)

2

=

m[2a1+(m-1)d]

2

=

m

n

②，
①-②得：（n-m）d=

2(n-m)

mn

，由m≠n，
得到：d=

2

mn

，把d代入①解得：a₁=

1

mn

，
则S_n+m=

(m+n)(a1+am+n)

2

=

(m+n)[2a1+(m+n-1)d]

2

=

(m+n)2

mn

＞

4mn

mn

=4，
所以S_n+m的取值范围是（4，+∞）．
故答案为：（4，+∞）

点评：此题考查学生灵活运用等差数列的前n项和公式化简求值，掌握等差数列的性质，是一道中档题．学生做题时注意应用（a+b）²≥4ab来求最小值．