题目内容

函数f（x）是一个偶函数，g（x）是一个奇函数，且 $数学公式$ ，则f（x）解析式为________．

$\text{[math]}$
分析：将-x代入已知解析式 $\text{[math]}$ ，结合奇偶性的定义f（-x）=f（x），g（-x）=-g（x），整理可得f（x）与g（x）的又一关系式，与已知解析式联立解方程即可．
解答：∵f（x）是一个偶函数，g（x）是一个奇函数，
∴f（-x）=f（x），g（-x）=-g（x），
∵ $\text{[math]}$ ①，
∴ $\text{[math]}$ ②，
①②联立，解得f（x）= $\text{[math]}$ ．
故答案为： $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查了函数奇偶性的定义，注意将-x代入已知解析式从而构造出f（x）与g（x）的又一关系的方法的应用，同时考查了学生的方程思想．

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定义域为R的函数f（x）满足：对于任意的实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且当x＞0时f（x）＜0恒成立．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；
（2）证明f（x）为减函数；若函数f（x）在[-3，3]上总有f（x）≤6成立，试确定f（1）应满足的条件；（3）解关于x的不等式

f(a2x)-f(a)，（n是一个给定的自然数，a＜0）

13、观察下列各式：①（x³）′=3x²；②（sinx）′=cosx；③（2^x-2^-x）′=2^x+2^-x；④（xcosx）′=cosx-xsinx根据其中函数f（x）及其导函数f′（x）的奇偶性，运用归纳推理可得到的一个命题是：

奇函数的导函数是偶函数

设函数f（x）的定义域D关于原点对称，0∈D，且存在常数a＞0，使f（a）=1，又f（x₁-x₂）=

，
（1）写出f（x）的一个函数解析式，并说明其符合题设条件；
（2）判断并证明函数f（x）的奇偶性；
（3）若存在正常数T，使得等式f（x）=f（x+T）或者f（x）=f（x-T）对于x∈D都成立，则都称f（x）是周期函数，T为周期；试问f（x）是不是周期函数？若是，则求出它的一个周期T；若不是，则说明理由．

已知函数f(x)=

．请完成以下任务：
（Ⅰ）探究a=1时，函数f（x）在区间[0，+∞）上的最大值．为此，我们列表如下

x	0	0.1	0.2	0.5	0.8	1	1.2	1.5	1.8	2	4	6	…
y	0	0.396	0.769	1.6	1.951	2	1.967	1.846	1.698	1.6	0.941	0.649	…

请观察表中y值随x值变化的特点，解答以下两个问题．
（1）写出函数f（x），在[0，+∞）上的单调区间；指出在各个区间上的单调性，并对其中一个区间的单调性用定义加以证明．
（2）请回答：当x取何值时f（x）取得最大值，f（x）的最大值是多少？
（Ⅱ）按以下两个步骤研究a=1时，函数f(x)=

，(x∈R)的值域．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）结合已知和以上研究，画出函数f（x）的大致图象，指出函数的值域．
（Ⅲ）己知a=-1，f（x）的定义域为（-1，1），解不等式f(4-3x)+f(x-

已知函数f(x)=

．
（1）试求函数f（x）的定义域，并判断函数f（x）的奇偶性；
（2）已知a是方程f（x）=0的一个实数解，求证：|a|＞