Question

设函数f（x）的定义域D关于原点对称，0∈D，且存在常数a＞0，使f（a）=1，又f（x₁-x₂）=

f(x1)-f(x2)

1+f(x1)f(x2)

，
（1）写出f（x）的一个函数解析式，并说明其符合题设条件；
（2）判断并证明函数f（x）的奇偶性；
（3）若存在正常数T，使得等式f（x）=f（x+T）或者f（x）=f（x-T）对于x∈D都成立，则都称f（x）是周期函数，T为周期；试问f（x）是不是周期函数？若是，则求出它的一个周期T；若不是，则说明理由．

Answer 1

分析：（1）取f（x）=tanx，满足要求；
（2）可用赋值法，取x₁=0，x₂=x，由f(x1-x2)  =

f(x1)-f(x2)

1+f(x1)f(x2)

可证明f（x）是D上的奇函数；
（3）由f(x-a)=

f(x)-f(a)

1+f(x)f(a)

=

f(x)-1

1+f(x)

，可求得f(x-2a)= -

1

f(x)

，从而可求得f（x-4a）=f（x），f（x）是周期函数，T=4a．

解答：解：（1）取f（x）=tanx，定义域为{x|x≠kπ+

π

2

，k∈Z}关于原点对称，且0∈D；且存在常数a=

π

4

使得
f（a）=tana=1；又由两角差的正切公式知，f(x1-x2)  =

f(x1)-f(x2)

1+f(x1)f(x2)

符合．…（4分）
（2）f（x）是D上的奇函数；
证明如下：f（0）=0，取x₁=0，x₂=x，由f(x1-x2)  =

f(x1)-f(x2)

1+f(x1)f(x2)

得f（-x）=-f（x），所以f（x）是D上的奇函数；…（4分）
（3）考察f（x）=tanx的最小正周期T=π=4a，可猜测4a是f（x）的一个周期．
证明：由已知f(x-a)=

f(x)-f(a)

1+f(x)f(a)

=

f(x)-1

1+f(x)

，则f(x-2a)=f[(x-a)-a]=

f(x-a)-1

1+f(x-a)

=[

f(x)-1

1+f(x)

-1 ]  ÷[1+

f(x)-1

1+f(x)

] = -

1

f(x)

，
∴f(x-4a)=f[(x-2a)-2a]=-

1

f(x-2a)

=f(x)．
所以f（x）是周期函数，4a是f（x）的一个周期．…（7分）

点评：本题考察函数奇偶性的判断，着重考查学生赋值法的应用，考查学生对周期函数性质的把握与运用，属于难题．