Question

在△ABC中，已知

BA

•

BC

=-6，且△ABC的面积满足

3

≤S≤3．
（1）求∠B的取值范围；  
（2）

p

=（sinA，cosA），

q

=（cosC，sinC），求|2

p

-3

q

|的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用平面向量数量积运算化简已知等式表示出ac，再利用三角形面积公式化简已知不等式，将ac代入变形求出tanB的范围，由B为三角形内角，利用正切函数图象与性质即可求出B的范围；
（2）根据两向量的坐标，表示出|2

p

-3

q

|²，利用同角三角函数间的基本关系及两角和与差的正弦函数公式化简，再利用诱导公式变形，根据B的范围求出sinB的范围，即可确定出所求式子的范围．

解答：解：（1）∵

BA

•

BC

=accosB=-6，即ac=

-6

cosB

，
∴S=

1

2

acsinB=

-3sinB

cosB

=-3tanB，即

3

≤-3tanB≤3，
∴-1≤tanB≤-

3

3

，
∵B为三角形内角，
∴

3π

4

≤B≤

5π

6

；
（2）∵

p

=（sinA，cosA），

q

=（cosC，sinC），
∴2

p

-3

q

=（2sinA-3cosC，2cosA-3sinC），
∴|2

p

-3

q

|²=（2sinA-3cosC）²+（2cosA-3sinC）²=4+9-12（sinAcosC+cosAsinC）=13-12sin（A+C）=13-12sinB，
∵

3π

4

≤B≤

5π

6

，∴

2

2

≤sinB≤

3

2

，即13-6

3

≤13-12sinB≤13-6

2

，
则|2

p

-3

q

|的取值范围为[

13-6 3

，

13-6 2

]．

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，向量的模，平面向量的数量积运算，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．