Question

【题目】某地区进行疾病普查，为此要检验每一人的血液，如果当地有人，若逐个检验就需要检验次，为了减少检验的工作量，我们把受检验者分组，假设每组有个人，把这个个人的血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，这个人的血液全为阴性，因而这个人只要检验一次就够了，如果为阳性，为了明确这个个人中究竟是哪几个人为阳性，就要对这个人再逐个进行检验，这时个人的检验次数为次.假设在接受检验的人群中，每个人的检验结果是阳性还是阴性是独立的，且每个人是阳性结果的概率为.

（Ⅰ）为熟悉检验流程，先对3个人进行逐个检验，若，求3人中恰好有1人检测结果为阳性的概率；

（Ⅱ）设为个人一组混合检验时每个人的血需要检验的次数.

①当，时，求的分布列；

②是运用统计概率的相关知识，求当和满足什么关系时，用分组的办法能减少检验次数.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）①见解析，②当时，用分组的办法能减少检验次数.

【解析】

（Ⅰ）根据独立重复试验概率公式得结果;（Ⅱ）①先确定随机变量，再分别计算对应概率，列表可得分布列，②先求数学期望，再根据条件列不等式，解得结果.

（Ⅰ）对3人进行检验，且检验结果是独立的，

设事件：3人中恰有1人检测结果为阳性，则其概率

（Ⅱ）①当，时，则5人一组混合检验结果为阴性的概率为，每人所检验的次数为次，若混合检验结果为阳性，则其概率为，则每人所检验的次数为次，故的分布列为

②分组时，每人检验次数的期望如下

∴

不分组时，每人检验次数为1次，要使分组办法能减少检验次数，需 即

所以当时，用分组的办法能减少检验次数.