题目内容

已知f（x）=2+
2
cos(2x+
π
4
)的图象向左平移m个单位（m＞0），得到的图象关于直线x=
17π
8
对称．
（1）求m的最小值；
（2）已知方程f（x）=p在（0，π）内有两个不相等的实根x1，x2，求p的取值范围及x1+x2的值．
分析：（1）由题意可得平移后的函数解析式为y=2+
2
cos(2x+2m+
π
4
)，又由三角函数在其对称轴处取得最值，可得x=
17π
8
时，y=2+
2
cos(2x+2m+
π
4
)取得最值，即可得m所有可能值，进而可求m的最小值；
（2）由于与三角型函数有关的方程有两解，可以转化为y=f（x）与y=p的图象有两个交点，利用数形结合来做．
解答：解：（1）f（x）图象左移m个单位得到的函数表达式为y=2+
2
cos(2x+2m+
π
4
)…（2分）
又该图象关于直线x=
17π
8
对称，2×
17π
8
+2m+
π
4
=kπ，k∈Z…（4分）
得到m=
kπ
2
-
9π
4
，…（5分）
∵m＞0，
∴当k=5时，m的最小值为
π
4
…（6分）
（2）设t=2x+
π
4
，0＜x＜π，则y=2+
2
cost，
π
4
＜t＜
9π
4
…（7分）
f（x）=p在（0，π）内有两个不相等的实根，
则cost=
p-2
2
在(
π
4
，
9π
4
)内有两个不相等的实根，…（8分）
数形结合可得   -1＜
p-2
2
＜1，且
p-2
2
≠
2
2
，…（11分）
则2-
2
＜p＜2+
2
且p≠3…（12分）
当t1，t2∈(
π
4
，
7π
4
)时t1+t2=2π；当t1，t2∈(
7π
4
，
9π
4
)时t1+t2=4π．
即2x1+
π
4
+2x2+
π
4
=2π或2x1+
π
4
+2x2+
π
4
=4π…（13分）
∴x1+x2=
3π
4
或
7π
4
…（14分）
点评：本题考查了三角函数图象变换及三角函数的一些性质．注意三角函数的有关题目常用数形结合来解决．
练习册系列答案
相关题目
已知f（x）=loga（1-x），g（x）=loga（1+x）（a＞0，a≠1）．
（1）判断f（x）与g（x）图象的位置关系；
（2）当0＜a＜1时，比较|f（x）|与|g（x）|的大小；
（3）讨论关于x的方程ag(-x2+x+1)=af(k)-x的实根的个数．
已知f（x）是定义在R上的奇函数且f（x+4）=f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=x+2，则f（7）=
-3
-3
．
已知函数f（x）=x2-alnx，x∈（1，2），
（1）判断函数f（x）的单调性；
（2）若f（x）在（1，2）为增函数，g(x)=x-a
x
在（0，1）上为减函数．
求证：方程f（x）=g（x）+2在（0，+∞）内有唯一解；
（3）当b＞-1时，若f(x)≥2bx-
1
x2
在x∈（0，1）内恒成立，求实数b的取值范围．
已知f（x）=-2|2|x|-1|+1和g（x）=x2-2|x|+m（m∈R）是定义在R上的两个函数，则下列命题正确的是（　　）
已知f（x）=-2|2|x|-1|+1和g（x）=x2-2|x|+m（m∈R）是定义在R上的两个函数，则下列关于f（x），g（x）的四个命题：
①函数f（x）的图象关于直线x=0对称；
②关于x的方程f （z）-k=0恰有四个不相等实数根的充要条件是k∈（-1，0）；
③当m=1时，对?x1∈[-1，0]，?x2∈[-1，0]，f（x1）＜g（x2）成立；
④若?x1∈[-1，1]，?x2∈[-1，1]，f（x1）＜g（x2）成立，则m∈（-1，+∞）．
其中正确的命题有
 
（写出所有正确命题的序号）．

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