Question

已知f（x）=-2|2|x|-1|+1和g（x）=x²-2|x|+m（m∈R）是定义在R上的两个函数，则下列关于f（x），g（x）的四个命题：
①函数f（x）的图象关于直线x=0对称；
②关于x的方程f （z）-k=0恰有四个不相等实数根的充要条件是k∈（-1，0）；
③当m=1时，对?x₁∈[-1，0]，?x₂∈[-1，0]，f（x₁）＜g（x₂）成立；
④若?x₁∈[-1，1]，?x₂∈[-1，1]，f（x₁）＜g（x₂）成立，则m∈（-1，+∞）．
其中正确的命题有

 

（写出所有正确命题的序号）．

Answer 1

分析：画出函数f（x）=-2|2|x|-1|+1=

4x+3，x＜- 1 2 -4x-1，- 1 2 ≤x≤0 4x-1，0＜x≤ 1 2 -4x+3，x＞ 1 2

的图象，利用图象法可判断①和②，分析指定区间上f（x）与g（x）的值域，进而将存在性问题转化为最值问题后，可判断③和④

解答：解：∵函数f（x）=-2|2|x|-1|+1=

4x+3，x＜- 1 2 -4x-1，- 1 2 ≤x≤0 4x-1，0＜x≤ 1 2 -4x+3，x＞ 1 2

的图象如下图所示：

故函数f（x）的图象关于直线x=0对称，即①正确；
由①中函数图象可得，若已知f（x）=-2|2|x|-1|+1和g（x）=x²-2|x|+m（m∈R）是定义在R上的两个函数，则下列关于f（x），g（x）的四个命题，即②正确：
当m=1时，g（x）=x²-2|x|+1，
∵x∈[-1，0]时，f（x）_max=f（-

1

2

）=1，
x∈[-1，0]时g（x）=x²-2|x|+1=g（x）=x²+2x+1∈[0，1]，
故x₁=-

1

2

时，不存在x₂∈[-1，0]，使f（x₁）＜g（x₂）成立，故③错误；
∵x∈[-1，1]时，f（x）∈[-1，1]，
x∈[-1，1]时g（x）=x²-2|x|+m=g（x）=x²+2x+1+（m-1）∈[m-1，m]，
若?x₁∈[-1，1]，?x₂∈[-1，1]，f（x₁）＜g（x₂）成立，
则m＞-1，即满足条件的m的范围为（-1，+∞），故④错误；
故正确的命题有：①②④
故答案为：①②④

点评：本题以命题的真假判断为载体考查了分段函数的图象和性质，其中熟练掌握分段函数图象的画法，并能将存在性问题转化为最值问题是解答的关键．