Question

在数列{a_n}中，已知a₁=2，a_n+1a_n=2a_n-a_n+1，n∈N^*．
（1）证明数列为等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：．

Answer 1

【答案】分析：（1）通过移项整理得到a_n+1=，求得，即可证明数列为等比数列，然后求数列{a_n}的通项公式；
（2）法一：利用a_i（a_i-1）=（i=1，2，…，n）通过基本不等式，裂项法求出，再利用放缩法得到结果．
法二：和法一，类似，只是裂项法前，用的是放缩法，然后裂项法，求和放缩法推出证明的结果．
解答：解：（1）注意到a_n+1≠0，所以原式整理得：a_n+1=
由a₁=2，a_n+1=得对n∈N^*，a_n≠0．
从而由a_n+1=，两边取倒数得：∴数列是首项为-，公比为的等比数列∴∴．∴a_n=故数列{a_n}的通项公式是a_n=
…（4分）
（2）证法1：∵a_n=，∴a_i（a_i-1）=（i=1，2，…，n）当i≥2时，∵a_i（a_i-1）===
…（8分）∴
=2+1-＜3…（12分）
证法2：∵a_n=，∴a_i（a_i-1）=（i=1，2，…，n）当i≥2时，∵a_i（a_i-1）=…（8分）∴
=
＜2+＜3…（12分）
点评：本题是难题，考查数列递推关系式的应用，数列的证明，放缩法与裂项法的应用，考查分析问题解决问题的能力，计算能力以及转化思想的应用．