Question

已知f（x）=f₁（x）=|cos2πx|，x∈[0，1]，当n≥2时，f_n（x）=f[f_n-1（x）]，则f₂₀₁₃（x）=

x

2013

实数解的个数为

 

．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：推理和证明

分析：当x=1时，f₁（x）=x有四个解；当x=2时，f₂（x）=

x

2

有4²个解；当x=3时，f₃（x）=

x

3

有4³个解…由此归纳出f_n（x）=

x

n

实数解有4ⁿ个，将n=2013代入可得答案．

解答： 解：当x=1时，f₁（x）=|cos2πx|，x∈[0，1]，
此时f₁（x）=x有四个解；
当x=2时，f₂（x）=|cos2π|cos2πx||，x∈[0，1]，
此时f₂（x）=

x

2

有4²个解；
当x=3时，f₃（x）=|cos2π|cos2π|cos2πx|||，x∈[0，1]，
此时f₃（x）=

x

3

有4³个解；
…
由此归纳推理，f_n（x）=

x

n

实数解有4ⁿ个，
f₂₀₁₃（x）=

x

2013

实数解有4²⁰¹³个，
故答案为：4²⁰¹³

点评：本题考查的知识点是归纳推理，根的存在性及个数判断，其中分析出f_n（x）=

x

n

实数解有4ⁿ个，是解答的关键．