Question

在数列{a_n}中，a₁=1，并且对于任意n∈N^*，都有a_n+1=

an

2an+1

．
证明：数列{

1

an

}为等差数列，并求{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：对于a_n+1=

an

2an+1

，两边取倒数得

1

an+1

=

1

an

+2，即可证明和求出结论．

解答：解：∵a₁=1≠0，∴a_n≠0．
由对于任意n∈N^*，都有a_n+1=

an

2an+1

，两边取倒数得

1

an+1

=

1

an

+2，
∴

1

an+1

-

1

an

=2，
∴数列{

1

an

}是以

1

a1

=1为首项，2为公差的等差数列，
∴

1

an

=1+2(n-1)，化为an=

1

2n-1

．（n∈N^*）．
∴数列{a_n}的通项公式an=

1

2n-1

．（n∈N^*）．

点评：根据递推关系式的特点，利用两边取倒数法是解题的关键．