Question

【题目】已知函数在x = 2处的切线与直线垂直．

（Ⅰ）求函数f (x)的单调区间；

（Ⅱ）若存在，使成立，求m的最小值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）函数f (x)的单调递减区间是(0，1]，单调递增区间是[1，+∞)；（Ⅱ）m的最小值是5.

【解析】试题分析：1）求出函数的导数，根据f′（2）的值，求出a，从而求出函数的单调区间；
（2）问题等价于当x∈（1，+∞）时，成立，设，根据函数的单调性判断即可．

试题解析：

（Ⅰ）

由已知，，解得：a = 1

∴

当时，，f (x)是减函数

当时，，f (x)是增函数

∴函数f (x)的单调递减区间是(0，1]，单调递增区间是[1，+∞)．

（Ⅱ）解：∵，∴等价于

即存在，使成立，∴

设，则

设，则

∴h (x)在上单调递增.

又h (3) < 0，h (4) > 0，∴h (x)在上有唯一零点，设为x0，则，且

又，∴m的最小值是5．