Question

【题目】已知函数定义在上的奇函数， 的最大值为.

（1）求函数的解析式；

（2）关于的方程在上有解，求实数的取值范围；

（3）若存在，不等式成立，请同学们探究实数的所有可能取值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】试题分析：（1）根据,利用的最大值为，可得，再根据即可确定的解析式；(2) 关于的方程在上有解，即在上有解，根据函数单调性的求出的值域，即可得结果；(3)利用函数奇偶性和单调性之间的关系，可得不等式成立等价于成立，即存在使得成立，求出的最小值即可得结果.

试题解析：（1）定义在上的奇函数，所以，又易得，从而， ，所以， . 故.

（2）关于的方程在上有解，即在上有解

令： ，则在上单调性递增函数，

所以在上的值域为，

从而，实数的取值范围.

（3）因为是奇函数且在为单调递增函数，

所以由有，

即：存在使得成立，分别由以及在上的图像可知， 在上是增函数，所以，所以

又即，所以，综上： .