Question

已知a＞0,b＞0,求证:.

Answer 1

分析一:比较法是证明不等式的最基本的方法.作差后,注意到,提出公因式a-b,即可证明此不等式.

证法一：

∵a＞0,b＞0,

∴()-()

=()+()

=≥0.

∴.

分析二:此不等式中含有根式,因此可以考虑先去根式再予以证明.事实上,两边平方即可去根式.

证法二:∵a＞0,b＞0,

∴要证明,

只需证明()²≥()²,

展开得,

即≥a+b.①

注意到a＞0,b＞0,上式变形得

a³+b³≥ab(a+b),

即(a+b)(a²-ab+b²)≥ab(a+b),

两边除以a+b,得a²-ab+b²≥ab,

即(a-b)²≥0.

此式显然成立,∴.

分析三:对根式进行整体换元,也可达到去掉根式的目的.

证法三:令=c,=d,

∵a＞0,b＞0,∴c＞0,d＞0,

原不等式即≥c+d.②

②式与证法二中的①式结构完全相同,

故后面的证明从略.

分析四:注意到所证不等式左边是分式,而右边为整式,故还可考虑去分母,转化为整式不等式再予以证明.

证法四:∵a＞0,b＞0,

∴要证不等式,

只需证明()³+()³≥(+),

即证(+)(a-+b)≥(+),

即a-+b≥,

即(-)²≥0.

此式显然成立,∴.

分析五:我们还可借助于均值不等式,

即由≥,+≥,而巧妙地达到化分式为整式的目的.

证法五:∵a＞0,b＞0,

∴≥,+≥,

两式相加得

()+(+)≥+,

从而.

分析六:由证法五的启示,还可在原不等式的两边同时乘以不等式的右边的式子,即转化为证明不等式(+)()≥(+)²,将不等式的左这展开并利用均值不等式即可获证.

证法六:∵a＞0,b＞0,

∴(+)·()=+a=a+b+≥a+b+=(+)²,

∴≥+.