题目内容

已知a＞0，函数 $数学公式$ ．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）在点（1，f（1））的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）在[-1，1]的极值；
（Ⅲ）若在区间 $数学公式$ 上至少存在一个实数x₀，使f（x₀）＞g（x₀）成立，求正实数a的取值范围．

解：∵f′（x）=a²x²-2ax
（I）当a=1时，f′（1）=-1，f（1）=0
所以f（x）在点（1，f（1））的切线方程为y=-x+1
（II）令f′（x）=0得 $\text{[math]}$
（1）当 $\text{[math]}$ ，
x∈（-1，0）时，f′（x）＞0，f（x）递增
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$
所以当x=0时，有极大值 $\text{[math]}$ ；当 $\text{[math]}$ 有极小值 $\text{[math]}$
（2）当 $\text{[math]}$ ，f（x）在（-1，0）上递增，在（0，1）递减
所以f（x）极大值为f（0）= $\text{[math]}$ ，无极小值
（III）设F（x）=f（x）-g（x）= $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
F′（x）=a²x²-2ax+a=a²x²+a（1-2x）
∵ $\text{[math]}$
∴F′（x）=a²x²+a（1-2x）＞0
∴ $\text{[math]}$
则 $\text{[math]}$
依题意，只需F（x）_max＞0
即 $\text{[math]}$
解得 $\text{[math]}$
所以实数a的取值范围是（ $\text{[math]}$
分析：（I）求出函数在x=1处的导数即切线的斜率，利用直线方程的点斜式求出切线的方程．
（II）求出导函数，令导函数为求出两个根，两个的大小引起讨论；判断导函数在根左右两边的符号，判断出函数的单调性，利用极值的定义求出函数的极值．
（III）构造新函数，求出新函数的导数，通过导函数的符号判断函数的单调性，求出函数的最大值，将问题转化为最大值大于0，求出a的范围．
点评：本题考查导数的几何意义|在切点处的导数值是切线的斜率、考查利用导数求函数的单调性、求函数的极值、求函数的最值、考查不等式有解问题等价转化为函数的最值问题．