Question

已知a＞0，函数f(x)=

1-ax

x

，x∈（{0，+∞}），设0＜x1＜

2

a

，记曲线y=f（x）在点M（x₁，f（x₁））处的切线为l，
（1）求l的方程；
（2）设l与x轴交点为（x₂，0）证明：0＜x2≤

1

a

．

Answer 1

分析：（1）根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=x₁处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出化简即可；
（2）切线方程中令y=0，将x₂用x₁表示，然后利用配方法得x2=-a(x1-

1

a

)2+

1

a

，根据x₁的范围求出x₂的范围即可．

解答：解：（1）f（x）的导数f′(x)=-

1

x2

，由此得切线l的方程y-

1-ax1

x1

=-

1

x 2 1

(x-x1)；
（2）依题得，切线方程中令y=0，得x₂=x₁（1-ax₁）+x₁=x₁（2-ax₁），其中0＜x1＜

2

a

，
由0＜x1＜

2

a

，x₂=x₁（2-ax₁），有x₂＞0，及x2=-a(x1-

1

a

)2+

1

a

，
∴0＜x2≤

1

a

，当且仅当x1=

1

a

时，x2=

1

a

．

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及不等式的证明，考查运算求解能力、推理论证能力，化归与转化思想，属于基础题．