Question

（2012•湖北模拟）已知数列{a_n}的前n项和为S_n（S_n≠0），且an+2SnSn-1=0(n≥2，n∈N*)，a1=

1

2

．
（1）求证：{

1

Sn

}是等差数列；
（2）求a_n；
（3）若bn=

2(1-n)

n+2

an(n≥2)，求b2+…+b10．

Answer 1

分析：（1）由a_n+2S_nS_n-1=0，n≥2，可得S_n-S_n-1+2S_nS_n-1=0，变形得

1

S   n

-

1

Sn-1

=2，由此得出结论．
（2）由于当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，当n=1时，a1=S1=

1

2

，由此可得a_n ．
（3）当n≥2时，bn=

2(1-n)

n+2

an=

1

n(n+2)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

），用裂项法求出b₂+…+b₁₀的值．

解答：解：（1）∵a_n+2S_nS_n-1=0，n≥2，∴S_n-S_n-1+2S_nS_n-1=0，∴

1

S   n

-

1

Sn-1

=2．
∴{

1

Sn

}是首项为

1

S1

=

1

a1

=2，公差等于2的等差数列．（4分）
∴

1

Sn

=2+(n-1)×2=2n，∴Sn=

1

2n

．
（2）当n≥2时，an=Sn-Sn-1=

1

2n

-

1

2(n-1)

=-

1

2n(n-1)

，
当n=1时，a1=S1=

1

2

，∴

an= 1 2 n=1 - 1 2n(n-1) n≥2

．（8分）
（3）当n≥2时，bn=

2(1-n)

n+2

an=

1

n(n+2)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

），
则 b₂+…+b₁₀=

1

2

（

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

10

-

1

12

 ）=

1

2

（

1

2

+

1

3

-

1

11

-

1

12

）=

87

264

．（12分）

点评：本题主要考查等差关系的确定，用裂项法进行数列求和，属于中档题．