Question

15．设点P（x，y）在圆x²+（y-1）²=1上．
（1）求$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$的最小值；
（2）求$\frac{y+2}{x+1}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$，表示（x，y）与（2，0）的距离，圆心与（2，0）的距离为$\sqrt{5}$，即可求出$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$的最小值是$\sqrt{5}$-1．
（2）设$\frac{y+2}{x+1}$=k，即kx-y-2+k=0，利用圆心到直线的距离小于等于半径，即可得出结论．

解答 解：（1）$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$，表示（x，y）与（2，0）的距离，圆心与（2，0）的距离为$\sqrt{5}$，
∴$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$的最小值是$\sqrt{5}$-1．
（2）设$\frac{y+2}{x+1}$=k，即kx-y-2+k=0，
圆心到直线的距离$\frac{|k-3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$≤1，∴k≥$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{y+2}{x+1}$的最小值是$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．