Question

已知函数，.
（1）若函数在其定义域上为增函数，求的取值范围；
（2）当时，函数在区间上存在极值，求的最大值.
（参考数值:自然对数的底数≈）.

Answer 1

（1）；（2）.

试题分析：（1）解法1是将函数在其定义域上为增函数等价转化为不等式在区间上恒成立，利用参数分离法得到不等式在上恒成立，并利用基本不等式求出的最小值，从而求出的取值范围；解法2是求得导数，将问题等价转化为不等式在上恒成立，结合二次函数零点分布的知识求出的取值范围；（2）先将代入函数的解析式并求出的导数，构造新函数，利用导数研究函数的单调性，结合零点存在定理找出函数的极值点所存在的区间，结合条件确定的最大值.
试题解析：（1）解法1：函数的定义域为，
，.
函数在上单调递增，
，即对都成立.
对都成立.
当时，，当且仅当,即时，取等号.
，即，的取值范围为.
解法2：函数的定义域为，
，.
方程的判别式.
①当，即时，，
此时，对都成立,
故函数在定义域上是增函数.
②当，即或时，要使函数在定义域上为增函数，
只需对都成立.
设,则，得.
故.
综合①②得的取值范围为；
（2）当时，.
.
函数在上存在极值，
∴方程在上有解,
即方程在上有解.
令，由于，则，
函数在上单调递减.
，
，
函数的零点.
方程在上有解，，.
，的最大值为.