Question

已知向量

a

=（sinx，cosx），

b

=（cosx，-cosx），设函数f（x）=

a

•（

a

+

b

）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的单调增区间；
（3）若函数g（x）=f（x）-k，x∈[0，

π

2

]，其中k∈R，试讨论函数g（x）的零点个数．

Answer 1

分析：（1）通过向量的数量积求出函数的表达式，利用二倍角公式以及两角和的正弦函数化为一个角的一个三角函数的形式，即可求出函数的最小正周期．
（2）利用正弦函数的单调增区间，直接求出函数的单调增区间即可．
（3）求出函数在x∈[0，

π

2

]时函数的取值范围，即可根据函数的零点的判断方法推出函数零点的个数．

解答：解：（1）函数f（x）=

a

•（

a

+

b

）=（sinx，cosx）•（sinx+cosx，0）
=sin²x+sinxcosx=

1-cos2x

2

+

1

2

sin2x=

2

2

sin(2x-

π

4

)+

1

2

．
所以函数的最小正周期为：π．
（2）因为函数 y=

2

2

sin(2x-

π

4

)+

1

2

，由 2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤

π

2

+2kπk∈Z，即 kπ-

π

8

≤x≤

3π

8

+kπk∈Z，
所以函数的单调增区间为：[-

π

8

+kπ，

3π

8

+kπ](k∈Z)．
（3）y=

2

2

sin(2x-

π

4

)+

1

2

，x∈[0，

π

2

]，所以2x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，
y=

2

2

sin(2x-

π

4

)+

1

2

∈[0，

3

2

]，
函数g（x）=f（x）-k=

2

2

sin(2x-

π

4

)+

1

2

-k，x∈[0，

π

2

]，其中k∈R，
当k＜0或k＞

3

2

时，零点为0个；
当k∈[1，

3

2

)时函数有两个零点，
当k=

3

2

或0≤k＜1时，函数有一个零点；

点评：本题是中档题，考查向量的数量积的应用，三角函数的化简求值，函数的单调增区间的求法，函数零点的判断方法，考查计算能力．