Question

在某次抽奖活动中，一个口袋里装有4个白球和4个黑球，所有球除颜色外无任何不同，每次从中摸出2个球，观察颜色后放回，若为同色，则中奖．
（1）求仅一次摸球中奖的概率；
（2）求连续2次摸球，恰有一次不中奖的概率；
（3）记连续3次摸球中奖的次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析：（1）利用每次从中摸出2个球，观察颜色后放回，若为同色，则中奖，可求仅一次摸球中奖的概率；
（2）连续2次摸球，恰有一次不中奖，可能第1次不中奖，也可能第2次不中奖，由此可求概率；
（3）确定连续3次摸球中奖的次数ξ的取值，求出相应的概率，即可求ξ的分布列和数学期望．

解答：解：（1）设仅一次摸球中奖的概率为P₁，则P₁=

2 C 2 4

C 2 8

=

3

7

…（3分）
（2）设连续2次摸球（每次摸后放回），恰有一次不中奖的概率为P₂，则
P₂=

C

1 2

(1-P1)P1=

24

49

…（7分）
（3）ξ的取值可以是0，1，2，3，
P（ξ=0）=（1-P₁）³=

64

343

，
P（ξ=1）=

C

1 3

(1-P1)2P1=

144

343

，
P（ξ=2）=

C

2 3

(1-P1)P12=

108

343

，
P（ξ=3）=

P

3 1

=

27

343

所以ξ的分布列如下表

ξ	0	1	2	3
P	64 343	144 343	108 343	27 343

…（12分）
∴Eξ=0•

64

343

+1•

144

343

+2•

108

343

+3•

27

343

=

441

343

…．（14分）

点评：本题考查概率的计算，考查离散型随机变量的分布列与数学期望，考查学生的计算能力，属于中档题．