Question

在某次抽奖活动中，一个口袋里装有5个白球和5个黑球，所有球除颜色外无任何不同，每次从中摸出2个球，观察颜色后放回，若为同色，则中奖．
（Ⅰ）求仅一次摸球中奖的概率；
（Ⅱ）求连续2次摸球，恰有一次不中奖的概率；
（Ⅲ）记连续3次摸球中奖的次数为ξ，求ξ的分布列．

Answer 1

分析：（I）从装有10只球的口袋中每次从中摸出2个球有

C

2 10

种方法，而摸出的球是同色的事件数是2

C

2 5

，由古典概型公式，代入数据得到结果，注意运算要正确，因为第二问要用本问的结果．
（II）连续两次摸球，可看作是两次独立重复试验，每次试验中事件“中奖”发生的概率为P₁，恰有一次不中奖的概率为

C

1 2

(1-P1)P1
（III）连续3次摸球中奖的次数为ξ，由题意知ξ的取值是0、1、2、3，本题是一个独立重复试验，ξ服从二项分布，根据上面的结果，代入公式得到结果，写出分布列．

解答：解：（Ⅰ）由题意知本题是一个古典概型，
∵从装有10只球的口袋中每次从中摸出2个球有

C

2 10

种方法，
摸出的球是同色的事件数是2

C

2 5

，
设仅一次摸球中奖的概率为P₁，
则P₁=

2 C 2 5

C 2 10

=

4

9

（Ⅱ）设连续2次摸球（每次摸后放回），恰有一次不中奖的概率为P₂，则
P₂=

C

1 2

(1-P1)P1=2×

5

9

×

4

9

=

40

81

（Ⅲ）ξ的取值可以是0，1，2，3
P（ξ=0）=（1-P₁）³=

125

729

，
P（ξ=1）=

C

1 3

(1-P1)2P1=

300

729

=

100

243

，
P（ξ=2）=

C

2 3

(1-P1)P12═

240

729

=

80

243

，
P（ξ=3）=

P

3 1

=

64

729

所以ξ的分布列如下表

ξ	0	1	2	3
P	125 729	100 243	80 243	64 729

点评：求离散型随机变量期望的步骤：①确定离散型随机变量的所有可能取值．②求随机变量取值的概率，写出分布列，并检查分布列的正确与否，即看一下所有概率的和是否为1．③求出期望．