Question

6．如图，在直三角形ABC-A₁B₁C₁中，M为AB₁的中点，△CMB₁为等边三角形
（1）证明：AC⊥平面BCC₁B₁
（2）设二面角B-CA-M的大小为60°，AB₁=8，求点C₁到平面CMB₁的距离．

Answer 1

分析 （1）通过直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的性质知AC⊥C₁C，利用线面垂直的判定定理即可；
（2）通过题意易得二面角B-CA-M的平面角为∠BCB₁，过C₁作C₁N⊥CB₁交CB₁于N，则C₁N即为点C₁到平面CMB₁的距离，在Rt△CB₁C₁中利用面积的不同计算方法计算即可．

解答 （1）证明：由直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的性质知AC⊥C₁C，
∵M为AB₁的中点，△CMB₁为等边三角形，
∴MA=MB₁=MC，∴AC⊥CB₁，
又∵B₁C∩C₁C=C，
∴AC⊥平面BCC₁B₁；
（2）解：由（1）知AC⊥平面BB₁C₁C，
∴BC⊥AC，BC₁⊥AC，
∴二面角B-CA-M的平面角为∠BCB₁，即∠BCB₁=60°，
在Rt△ACB₁中，∵AB₁=8，∴CM=CB₁=4，
又∵∠BCB₁=60°，∴BC=2，BB₁=$2\sqrt{3}$，
过C₁作C₁N⊥CB₁交CB₁于N，
∵AC⊥平面BB₁C₁C，且C₁N⊥CB₁，
∴C₁N即为点C₁到平面CMB₁的距离，
在Rt△CB₁C₁中，CC₁•C₁B₁=B₁C•C₁N，
∴C₁N=$\frac{C{C}_{1}•{C}_{1}{B}_{1}}{{B}_{1}C}$=$\frac{2\sqrt{3}×2}{4}$=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查二面角，空间中线面的位置关系、点到面的距离，三角形的面积计算公式，注意解题方法的积累，属于中档题．