Question

11．已知F₁，F₂为椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1的左右焦点，O是坐标原点，过F₁的直线l与椭圆C交于A，B两点．
（1）若椭圆上存在点P，使得四边形OAPB是平行四边形，求直线l的方程；
（2）是否存在这样的直线l，使四边形OAPB是矩形，若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1可得：c=$\sqrt{2}$，F₁$（-\sqrt{2}，0）$，当l⊥x轴时，当l与x轴重合时，不符合题意，舍去；当l与x轴不垂直且与x轴不重合时，假设椭圆上存在点P，使得四边形OAPB是平行四边形，设my=x+$\sqrt{2}$，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．与椭圆方程联立可化为$（2+{m}^{2}）{y}^{2}-2\sqrt{2}my-2=0$，利用根与系数的关系可得：$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$=（x₁+x₂，y₁+y₂），代入椭圆方程解出m即可．
（2）当l与x轴垂直或重合时，都不符合题意，舍去；假设存在这样的直线l，使四边形OAPB是矩形，由（1）利用$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=0，解出m即可．

解答 解：（1）由椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1可得：c=$\sqrt{2}$，F₁$（-\sqrt{2}，0）$，
当l⊥x轴时，则椭圆上不存在点P，使得四边形OAPB是平行四边形，舍去；
当l与x轴重合时，也不符合题意，舍去；
当l与x轴不垂直且与x轴不重合时，假设椭圆上存在点P，使得四边形OAPB是平行四边形，
设my=x+$\sqrt{2}$，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2{y}^{2}=4}\\{my=x+\sqrt{2}}\end{array}\right.$，化为$（2+{m}^{2}）{y}^{2}-2\sqrt{2}my-2=0$，
∴y₁+y₂=$\frac{2\sqrt{2}m}{2+{m}^{2}}$，
x₁+x₂=m（y₁+y₂）-2$\sqrt{2}$=$\frac{2\sqrt{2}{m}^{2}}{2+{m}^{2}}$-2$\sqrt{2}$=$\frac{-4\sqrt{2}}{2+{m}^{2}}$，
∵$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$=（x₁+x₂，y₁+y₂），
∴P$（\frac{2\sqrt{2}{m}^{2}}{2+{m}^{2}}，\frac{-4\sqrt{2}}{2+{m}^{2}}）$，代入椭圆方程可得：$（\frac{2\sqrt{2}{m}^{2}}{2+{m}^{2}}）^{2}$+2$（\frac{-4\sqrt{2}}{2+{m}^{2}}）^{2}$=4，
化为m⁴-4m²-12=0，解得m=$±\sqrt{6}$．
∴直线l的方程为：x$±\sqrt{6}$y+$\sqrt{2}$=0．
综上可得：满足条件的直线l的方程为：x$±\sqrt{6}$y+$\sqrt{2}$=0．
（2）当l与x轴垂直或重合时，都不符合题意，舍去；
假设存在这样的直线l，使四边形OAPB是矩形，
由（1）可得：设my=x+$\sqrt{2}$，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2{y}^{2}=4}\\{my=x+\sqrt{2}}\end{array}\right.$，化为$（2+{m}^{2}）{y}^{2}-2\sqrt{2}my-2=0$，
∴y₁+y₂=$\frac{2\sqrt{2}m}{2+{m}^{2}}$，y₁y₂=$\frac{-2}{2+{m}^{2}}$．
∴x₁x₂=$（m{y}_{1}-\sqrt{2}）（m{y}_{2}-\sqrt{2}）$=m²y₁y₂-$\sqrt{2}m（{y}_{1}+{y}_{2}）$+2，
$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=（m²+1）y₁y₂-$\sqrt{2}m（{y}_{1}+{y}_{2}）$+2=$\frac{-2（1+{m}^{2}）}{2+{m}^{2}}$-$\frac{4{m}^{2}}{2+{m}^{2}}$+2=0，
化为2m²=1，解得m=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴满足条件的直线l存在，其方程为：$x±\sqrt{2}y+2=0$．

点评 本题考查了直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、向量的平行四边形法则、向量垂直与数量积的关系，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．